Selberg Identity : Number Theory #Selberg #Identity #: #Number #Theory
Selberg Identity : For n ≥ 1 , we have โดท(n) logn + ๐ฎ โดท(d) โดท(n/d) = ๐ฎ ฮผ(d) log 2 (n/d). Proof : Suppose n ≥ 1 . We know that log n = ( โดท * u ) (n) ⇒ u(n)logn = ( โดท * u ) (n) | since u(n) = 1) ⇒ u’(n) = ( โดท * u ) (n) …………… ① By differentiating on both sides , we get u’’(n) = ( โดท * u )’ (n) = ( โดท’ * u ) (n) + ( โดท * u’ ) (n) = ( โดท’ * u ) (n) + ( โดท * ( โดท * u ) (n) | Since from ① | u’’(n) = ( โดท’ * u ) (n) + ( ( โดท * โดท)) * u ) (n) ...