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                              Limit Comparison Test:                             Proof                       problems & Solutions                                                                                                        Back  

  Limit comparison test :                                                                                                                                                                              Back Statement : If Σu n and Σv n are two series of non-negative terms such that  lim (u n /v n ) = l. Then a)         If l ≠ 0, then Σu n and Σv n converge or diverge together and b)       If l = 0 and if   Σv n convergent then Σu n convergent . P     Proof #limit #compari...

Problems & Solutions :   Test for convergence of Σ (2n-1)/n(n+1)(n+2).                                                                Back Solution : Test for convergence of  1+ 4/5 + 6/10+ 8/17+ …+ 2n/(n 2 +1)+ … Solution: Test for convergence of  1.2/3.4.5 + 2.3/4.5.6+ 3.4/5.6.7 + … Solution : Test for convergence of Σ1/ n^( 𝜶+( 𝜷/n)). Solution : Test for convergence of Σ 1/( 2 n +3 n ). Solution : Test for convergence of Σ (√(n+1) - √n ). Solution : Test for convergence of Σ ( √ (n 2 +1) – n ). Solution : Test for convergence of  Σ ( √(n 3 +1) - √( n 3 )  ). Solution :  Test for convergence of Σ ( √ (n 4 +1) - √ ( n 4 -1) ).

 Cauchy’s n th root test or Root test :                                                                                                                                                                               Back   Statement :                               If Σ u n  is a series of positive terms such that lim u n 1/n =l, then (a)     Σ u n converges if l<1 and (b) Σ u n diverges if l>1. Proof :  

                            Cauchy’s n th root test or Root test :       Proof                 Problems & Solutions                                                             Back #Cauchy's #nth #root #test #or #Root #Test  : #Infinte #Series 

    D'Alembert's Ratio Test :                       Statement :                                                                                                          Back                   If Σ u n  is a series of positive terms such that lim (u n+1 /u n ) =l, then                 (a)     Σ u n converges if l<1 and (b) Σ u n diverges if l>1. Proof :            

  Ratio - Test : Problems & Solutions :                                                                                                                                                                                                                                                                                ...

 D'Alembert's Ratio Test (or) Ratio Test :                                                                                 Proof                 Problems & Solutions                                                       Back

  Leibnitz-Test : Problems & Solutions :                             *       Examine the character of the series Σ (-1) n-1 n /2n-1                                    Back                                                  Solution :   *      Examine the convergence of 1/1.2 – 1/3.4 + 1/5.6 -1/7.8 +…        Solution : *            Examine the convergence of Σ (-1) n 1/n ( 1+ 1/2 + 1/3+ …+ 1/n). Solution : *   Prove that   1- 1/2 + 1/3 - … converges. Solution : *      Prove that Σ (-1) n / n! = 1- 1/1! + 1/2! - 1/3!+… converges. Solution :  Leibnitz-Test : #Problems #...

 Leibnitz - Test                                            P roof                 Problems & Solutions                                                           Back

 Leibnitz- Test : Statement & Proof :                  Statement  :                                                                                                        Back                 If { u n } is a sequence of positive terms such that (a)     U n ≥ u n+1 ∀ n (b)     Lim u n =0 then the alternating series Σ (-1) n-1 is convergent.   Proof :

                                                  Comparison Test                  Proof                                            Problems & Solutions                                                                                       Back

Comparision Test -1 :   Statement : If Σu n and Σv n are two series of non-negative terms such that                                Back a)                                           There is a positive integer m and k 𝞊 R +  , 0 ≤  u n ≤ k v n   ∀ n ≥ m and                       b)       Σv n   is convergent then Σu n is convergent.      Proof : Comparison test -2 : Statement  : If Σu n  and Σv n  are two series of non-negative terms such that  a)                                          There is a positive integer m and k  𝞊  R +  ...