Is aob = (ab) / 3 for a,b 𝞊 Q+ is abelian ? : Group Theory

 

Problem : 

         Show that the set Q₊ of all +ve rational numbers forms an abelian group under the composition 

         defined by aob = (ab) / 3 for a,b 𝞊 Q₊

Solution : 

        Suppose Q₊  is the set of all +ve rational numbers.     

         Define the operation ' o ' on Q₊  by aob = (ab) / 3 for a,b 𝞊 Q₊.

         Now we are going to prove ( Q₊ , o ) is abelian.

         Closure property : 

              Let a , b 𝞊 Q₊      i.e a and b are positive rational numbers.

                                           ⇒ ab/3 is also a positive rational number

                                           ⇒aob = (ab) / 3 for a,b 𝞊 Q₊.

            Associative Law : 

                Let a,b,c 𝞊  Q₊

               Now ( aob)oc = (ab/3)oc

                                      = ({ab/3}c ) / 3

                                      =  (a/3) { bc/3}

                                      = (a/3) (boc)

                                      = ao(boc)

                    ∴  (aob)oc = ao(boc) ∀ a,b,c 𝞊 Q₊ 

               Existance of Identity :

                   Let a ≠ 0 𝞊 Q₊.

                    Let e 𝞊 Q₊  such that aoe = a

                                                ⇒ (ea)/3 = a

                                                ⇒ ea = 3a

                                                ⇒ ea-3a = 0

                                                ⇒ (e-3)a = 0 

                                                ⇒ e-3 = 0    | since a ≠ 0| 

                                                ⇒ e = 3 

                            clearly aoe = ae/3 = (a/3) x 3  = a

                            Hence there exist e = 3 in Q₊  such that aoe= e=a = a 

                             ∴ e=3 is the identity element in Q₊ 

                   Existence of Inverse :

                     Let a 𝞊 Q₊.

                     Let b 𝞊 Q₊  such that  aob=e

                                               ⇒ ab/3 = 3    | since e=3 |

                                               ⇒ ab = 9

                                               ⇒ b = 9/a

                     ∴ For every a 𝞊 Q₊ there exist b𝞊Q₊ such that aob=e=boa where b = 9/a.

                         Hence 9/a is the inverse of a in Q₊

                        Thus every element in  has inverse in Q₊  .

                    Commutative Law :

                      Let a,b 𝞊  Q₊.

                      Now aob = ab/3

                                      = ba/3

                                      = boa     

                       ∴ aob = boa ∀ a,b 𝞊 Q₊

                       ∴  By all the above properties (Q₊  , o ) is an abelian group.

 *  Is aob = a^b is a binary operation on N?

 

* Uniqueness of identity element

 * uniqueness of  inverse element in a group

* Is aob = a is associative in S?

 

*Is set of even integers is abelian under addition ?

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